Yönlendirilmiş Grafiklerde Ağırlıklı Kaydırmaların Dinamiği

Dimitrios Papathanasiou
Sabancı Üniversitesi Mühendislik ve Doğa Bilimleri Fakültesi
 

Kısa süre önce onaylanan TÜBİTAK 1001 projemizin adı “Yönlendirilmiş Grafikler Üzerinde Ağırlıklı Kaydırmaların Dinamiği”... Projenin adında yer alan terimleri ve dolayısıyla projenin özünü tam olarak anlamak için genellikle büyük bir matematiksel altyapıya ihtiyaç duyulur. Ancak bu yazımda, projenin ardındaki ana fikirleri daha geniş bir kitle için açıklamaya çalışacağız.

10 katlı, her katında tam olarak bir oda bulunan bir oteliniz olduğunu hayal edin. Otel tamamen doluysa ve yeni bir misafir gelirse, başka bir misafirden otelden ayrılmasını istemeden bu misafiri ağırlamanın bir yolu yoktur. Şimdi bunun yerine otelinizin sonsuz sayıda katı olduğunu hayal edin. Aynı senaryoyu tekrarlayalım: Otel tamamen dolu ve yeni bir misafir oda talep ediyor. Şaşırtıcı bir şekilde, bu sefer sorunun basit bir çözümü var. Mevcut her misafirden bir kat yukarı çıkmasını isteyebilirsiniz - birinci kattaki misafir ikinci kata, ikinci kattaki misafir üçüncü kata ve böyle devam eder. Bu şekilde, mevcut her misafirin hala bir odası olmuş olur ve birinci kat yeni gelen misafir için müsait hale gelir.

Bu düşünce deneyi, Hilbert'in Oteli olarak bilinir ve matematikçilerin kaydırma operatörü olarak adlandırdığı şeyin bir örneğidir. Şimdi resmi zenginleştirelim. Hilbert'in Oteli'ndeki her misafire bir numara atadığımızı varsayalım. Bir misafir bir kat yukarı çıktığında, atanan numarasını yeni katının numarasıyla çarparız. Bu bize bir ağırlıklı kaydırma örneği verir. Örneğin, 9. kattaki misafire 3 numarası atanmışsa, 10. kata çıktıktan sonra atanan numara 10×3=30 olur.

Ağırlıklı kaydırmalar, kabaca söylemek gerekirse, sonsuz boyutlu vektör uzayları ve bunlar üzerinde etkili olan doğrusal operatörlerle ilgilenen bir matematik dalı olan Fonksiyonel Analiz'de merkezi bir rol oynar. Matematikçiler, zamanla, ağırlıklı kaydırmalar sınıfını, bazı arzu edilen özelliklerini koruyarak genişletmenin verimli olduğunu fark ettiler. Bu durum, ağırlıklı kaydırmaların sadece sonsuzluk oteli gibi basit yapılarda değil, ağaçlarda ve daha genel olarak yönlendirilmiş grafiklerde de incelenmesine yol açtı. Altta yatan fikir ise benzer: Hilbert Oteli'nin katları boyunca sayıları kaydırmak yerine, onları ikili bir ağacın köşeleri boyunca kaydırdığınızı hayal edin. Grafik daha karmaşık hale geldikçe - birden fazla dallanma noktası veya hatta döngülerle - buna karşılık gelen kaydırma operatörü giderek daha karmaşık hale gelir.

Ağırlıklı kaydırmalar hakkında biraz sezgi kazandıktan sonra, bir sonraki soru şudur: Bunların hangi özelliklerini incelemekle ilgileniyoruz? Bunu cevaplamak için dinamik sistemler teorisine başvuruyoruz.

Bir dinamik sistem, elemanları olası durumları temsil eden bir küme ve bir evrim fonksiyonundan oluşur. Adından da anlaşılacağı gibi, evrim fonksiyonu durumların zaman içinde nasıl değiştiğini açıklar. Belirli bir durumdan başlayarak, evrim fonksiyonunu bir kez uygulamak bize bir zaman biriminden sonraki durumu söyler. İki kez uygulamak bize iki zaman biriminden sonraki durumu söyler ve bu böyle devam eder. Bu tekrarlanan uygulamalara yinelemeler denir ve bunların ürettiği durum dizisi, başlangıç ​​durumunun yörüngesi olarak bilinir. Yörüngeler, sistemin uzun vadeli veya asimptotik davranışını anlamada kilit bir öneme sahiptir. 

Kabaca söylemek gerekirse, uzun vadeli davranışı tahmin edilemez olan dinamik bir sisteme kaotik denir. Kaosun temel özelliklerinden biri, başlangıç ​​koşullarına duyarlı bağımlılıktır: Birbirine çok yakın başlayan iki durum, sonunda birbirinden çok farklı durumlara dönüşebilir. Bu fenomen, Edward Lorenz tarafından ünlü kelebek etkisiyle gösterilmiştir: Dünyanın bir yerinde bir kelebeğin kanat çırpması, bir dizi büyütme etkisi yoluyla, başka bir yerde bir kasırganın oluşmasına katkıda bulunabilir.

Projemizde, ağırlıklı kaymaları dinamik sistemler perspektifinden, evrim haritaları olarak inceliyoruz. Ana amacımız, bu tür kaymaların ne zaman kaotik davranış sergilediğini anlamaktır. Bu, ilk bakışta paradoksal görünebilir. Ağırlıklı kaymalar doğrusal operatörlerdir ve doğrusal sistemler genellikle tahmin edilebilirlik ve basitlikle ilişkilendirilir. Yine de, bu operatörlerin çoğu kaotik dinamikler sergiler. Bunun temel nedeni, sonlu boyutlu ortamlardan elde edilen sezgilerin artık geçerli olmadığı sonsuz boyutlu uzaylarda hareket etmeleridir.

Bu üç yıllık projeye başlamaktan heyecan duyuyoruz. Yakında kurulacak olan araştırma ekibi, benim dışımda iki yüksek lisans öğrencisi, bir doktora öğrencisi ve bir doktora sonrası araştırmacıdan oluşacak. Bu soruları birlikte keşfetmeyi ve yönlendirilmiş grafiklerdeki ağırlıklı kaymaların dinamiklerine dair artan bilgiye katkıda bulunmayı dört gözle bekliyoruz.